Theorem: Hanner Inequalities For \(f,g \in L^p\) with \(p \in [1,2]\) we have that \[ \begin{align} \|f+g\|_{p}^p+\|f-g\|_{p}^p & \geq (\|f\|_{p}+\|g\|_{p})^p+| \|f\|_{p}-\|g\|_{p}|^p \tag{1}\\ (\| f+g \|_{p} + \|f-q \|_{p})^p+ | \|f+g \|_{p}- \|f-g \|_{p} |^ p & \leq 2^p (\|f\|_{p}^p + \|g\|_{p}^P).\tag{2} \end{align} \] Proof:
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